我们都知道阶乘是从1到某个整数的连乘积，例如5的阶乘就是1×2×3×4×5=120。那么问题来了，如果让你求-5的阶乘，你会怎么做？负数有阶乘吗？本文将会给你一个全面的解答。
一、阶乘的定义
我们先回顾一下阶乘的定义。阶乘是指从1连乘到某个正整数n，即n! = 1×2×3×……×n。例如，5的阶乘就是1×2×3×4×5=120。这个定义是很清楚的，但也有一些问题，比如对于负数，它并不适用。
二、阶乘的扩展
为了解决阶乘定义的问题，我们可以对其进行扩展。具体来说，我们可以这样定义负整数的阶乘：
当n<0时，n! = (-1)^(n+1) × |n|!，其中|n|表示n的绝对值。
这个定义告诉我们，如果我们要求-5的阶乘，那么我们需要先计算5的阶乘，然后再乘上一个-1的指数（-1的指数是4），最后得到的结果就是-5的阶乘。
三、阶乘的性质
阶乘有一些很有趣的性质，我们可以借此来更好地理解它。
1.0的阶乘等于1
这个性质有一些争议，因为0的阶乘并没有被定义。但是，我们可以通过以下推导来得到这个结论：
0! = 1! / (1×2×3×……×n) = 1
2.n!可以被分解成素数的乘积
这个性质非常有用，因为它可以让我们更容易地解决一些数论问题。具体来说，任意一个正整数n的阶乘可以被表示成如下的形式：
n! = p1^(a1) × p2^(a2) × p3^(a3) × …… × pk^(ak)
其中，p1、p2、p3、……、pk是n以内的所有素数，a1、a2、a3、……、ak是相应的指数。
3.n!是增长最快的函数
这个性质非常明显，因为阶乘的增长速度要比任意多项式都快。实际上，当n趋近于无穷大时，n!的增长速度要比e的任意幂函数、n的任意幂函数、n的对数函数等都快。
四、总结
在本篇文章中，我们介绍了阶乘的定义、扩展和性质。阶乘是数学中非常重要的一个概念，它不仅与组合数学、数论等领域有很密切的联系，而且还有很多有趣的性质。对于负数的阶乘，我们可以采用扩展的定义，并且利用阶乘的性质来更好地理解它。
